Με κομμένη την ανάσα

Την περασμένη Τρίτη, διαβάσαμε πως επιτέλους λύθηκε η υπόθεση Ρίμαν από τον Νιγηριανό Dr Opeyemi Enoch, ένα μαθηματικό πρόβλημα αναπόδεικτο για 156 χρόνια! Μεταξύ αυτών που αναπαρήγαγαν την είδηση ήταν και το BBC, το οποίο μάλιστα έσπευσε να πάρει συνέντευξη από τον Αφρικανό μαθηματικό. Τελικά, τα πράγματα φαίνεται πως δεν ήταν ακριβώς έτσι. Όμως, τι ακριβώς λέει αυτή η περίφημη υπόθεση;

[ Αν ανήκετε στην κατηγορία «πολύ διεστραμμένοι», παρακαλώ πηγαίνετε στην παράγραφο δύο. Οι ήπιες περιπτώσεις, παρακαλώ αρκεστείτε στη διατύπωση που ακολουθεί και μετά συνεχίστε στην παράγραφο τρία: «Όλες οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ του Ρίμαν έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ½». Οι υπόλοιποι δεν έφτασαν καν ως εδώ, ευτυχώς γι αυτούς! ]

Ίσως η πιο διάσημη σειρά Dirichlet είναι η συνάρτηση ζήτα: ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + … όπου s = σ + i t, η οποία αποδεικνύεται πως συγκλίνει απόλυτα όταν σ>1. Οι άρτιοι αρνητικοί ακέραιοι αποτελούν τετριμμένες λύσεις της εξίσωσης ζ(s) = 0. Ε λοιπόν, το 1859 ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ Ρίμαν έκανε την εικασία πως όλες οι μη τετριμμένες λύσεις της εξίσωσης αυτής βρίσκονται στην ευθεία σ = 1/2 (ή αλλιώς το πραγματικό μέρος αυτών είναι το 1/2). Το 1915 ο Γκ. Χ. Χάρντι απέδειξε ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες πάνω στην «κρίσιμη ευθεία», και το 1921 οι Χάρντι και Τζ. Ε. Λίτλγουντ έδειξαν πως το πλήθος των ριζών τής ζ(s) πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα 1/2 και 1/2 + i T είναι τουλάχιστον Α Τ για κάποια σταθερά Α όταν το Τ είναι αρκετά μεγάλο, ενώ το 1942 ο A. Σέλμπεργκ απέδειξε ότι το προηγούμενο πλήθος ριζών είναι τουλάχιστον Α Τ logT για Τ–> ∞ . Η υπόθεση αυτή του σπουδαίου Γερμανού μαθηματικού έχει ελεγχθεί για τις πρώτες 10.000.000.000 ρίζες, αλλά απόδειξη ή έστω ένα αντιπαράδειγμα που να την αναιρεί δεν είχε υπάρξει επί 156 χρόνια (βλ. Εισαγωγή στην αναλυτική θεωρία των αριθμών, Tom M. Apostol).

Θεωρείται ένα σημαντικό μαθηματικό πρόβλημα αυτό;

Η υπόθεση Ρίμαν ανήκε στη λίστα των 23 προβλημάτων που εκδόθηκαν από τον μεγάλο μαθηματικό Ντάβιντ Χίλμπερτ το 1900 και αναδημοσιεύθηκαν το 1902 στο Περιοδικό της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας. Λένε μάλιστα πως ο Χίλμπερτ έδινε ιδιαίτερη σημασία στην υπόθεση αυτή, τόσο που, όταν κάποτε τον ρώτησαν: «Αν ήταν να ξαναζωντανέψεις, σαν τον Φρειδερίκο Μπαρμπαρόσα, ύστερα από πεντακόσια χρόνια, τι θα έκανες;», εκείνος απάντησε: «Θα ρωτούσα αν έχει αποδειχθεί η Υπόθεση του Ρίμαν» (βλ. Η μουσική των πρώτων αριθμών, Marcus du Sautoy). Ολόκληρος ο 20ός αιώνας σημαδεύτηκε από την προσπάθεια σημαντικών μαθηματικών να την αποδείξουν, ενώ την υπόθεση Ρίμαν κατέταξε ανάμεσα στις τρεις πιο ενδιαφέρουσες ερευνητικές προκλήσεις για τον 21ο αιώνα ο Φίλιπ Α. Γκρίφιθς, διευθυντής του Ινστιτούτου Ανωτέρων Μελετών του Πρίνστον, στο τεύχος Ιανουαρίου του 2000 του American Mathematical Monthly. Παράλληλα, τόσο το Ινστιτούτο Κλέι —ιδρύθηκε το 1998 από τον χρηματιστή Λάντον Τ. Κλέι— όσο και το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών —ιδρύθηκε το 1994 στην Καλιφόρνια από τον επιχειρηματία Τζον Φράι— την έχουν βάλει στο στόχαστρό τους: το Ινστιτούτο Κλέι θέσπισε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την απόδειξη ή την κατάρριψή της, ενώ το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών οργάνωσε τρία μεγάλα συνέδρια (1996, 1998, 2002), στα οποία συμμετείχαν ερευνητές από όλο τον κόσμο, με θέμα την υπόθεση του Ρίμαν (βλ. Υπόθεση Ρίμαν. Η εμμονή με τους Πρώτους Αριθμούς, John Derbyshire).

Απέδειξε όμως πράγματι ο Dr Enoch ένα τόσο σημαντικό μαθηματικό πρόβλημα το οποίο θα τον κάνει εκατομμυριούχο, εκτός από επιστημονική διασημότητα;

Στο ποστ με τίτλο «Η υπόθεση Ρίμαν παραμένει αναπόδεικτη», το MathsBank Blog εύστοχα επισημαίνει πως η φερόμενη ως απόδειξη δεν συγκέντρωσε τη διεθνή προσοχή που θα εγγυούνταν ένα έργο τέτοιας σημασίας, ενώ παρακάτω επικαλείται πως στην ιστοσελίδα του Ινστιτούτου Κλέι η διάσημη υπόθεση του Γερμανού μαθηματικού αναφέρεται ως «unsolved». Βέβαια, γεγονός είναι πως πριν η απόδειξη μιας εικασίας σαν και αυτή επιβεβαιωθεί, και γίνουν και οι σχεδόν αναπόφευκτες διορθώσεις, παίρνει αρκετό καιρό. Συμπέρασμα; Η απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν από τον Νιγηριανό καθηγητή μαθηματικών φαίνεται δυστυχώς πως ήταν απλά… μια υπόθεση, η οποία πάντως σίγουρα μπορεί να κάνει όλα τα νερντς του πλανήτη να βρεθούν στην κρίσιμη ιστοσελίδα πραγματικά με την ανάσα κομμένη — και με το δάχτυλο ανά ½ δευτερόλεπτο στο ριφρές.